حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 2 x y) d y = y^{2} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y^{2} d x$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} + 2 x y) d y - y^{2} d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x + 2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 2 x + 2 y$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 y = 2 x + 2 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x + 2 y$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} + 2 x y$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 y - (2 x) - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - 2 y}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.2.4

اطرح $2 y$ من $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x - 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + 2 x y}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + x (2 y)}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x - 2 y$ و $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (2 y))}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (2 y)$ .

$\frac{2 (- (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.4.4

أعِد كتابة $- (x + 2 y)$ بالصيغة $- 1 (x + 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 5.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

خطوة 5.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 6.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

خطوة 6.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

خطوة 6.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- y^{2}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $x^{2} + 2 x y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $x^{2} + 2 x y$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.5.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (2 y)}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (2 y)$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 7.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

خطوة 7.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x + 2 y}{x} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 9.2

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 9.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = - y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 9.4

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 9.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 9.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{- 2} d x$

خطوة 9.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = - y^{2} (- x^{- 1} + C)$

خطوة 9.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أعِد كتابة $- y^{2} (- x^{- 1} + C)$ بالصيغة $- y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = - y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$

خطوة 9.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = 1 y^{2} \frac{1}{x} + C$

خطوة 9.7.2.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{x} + C$

خطوة 9.7.2.3

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x} + g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y^{2}}{x} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $\frac{1}{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2}}{x}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12.3.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12.3.4

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} = \frac{x + 2 y}{x}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

اطرح $\frac{x + 2 y}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} - \frac{x + 2 y}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - (x + 2 y)}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - (2 y)}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - 2 y}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y - x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.4.1

اطرح $2 y$ من $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2

أضف $- x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

خطوة 13.1.1.5.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

خطوة 13.1.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 1$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

خطوة 14.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = y + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + y + C$