حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

خطوة 2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

خطوة 2.3

اضرب $\frac{1}{x}$ في $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.3.2

اقسِم $e^{2 x}$ على $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.4

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.3.4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.3.4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.8

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 3.3.9

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 3.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 4.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

خطوة 4.4

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

خطوة 4.6

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

خطوة 4.6.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

خطوة 4.6.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

خطوة 4.6.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

خطوة 4.6.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

خطوة 4.6.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$