حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد ترتيب $5$ و $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

انقُل $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x - x^{2} + 5} d x$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب $4 x$ و $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.4

اقسِم $x^{3} - 21 x$ على $- x^{2} + 4 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

خطوة 2.3.4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

خطوة 2.3.4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

خطوة 2.3.4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 4 x^{2} - 5 x$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

خطوة 2.3.4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

خطوة 2.3.4.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

خطوة 2.3.4.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x^{2}$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

خطوة 2.3.4.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

خطوة 2.3.4.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{2} - 16 x - 20$

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

خطوة 2.3.4.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

خطوة 2.3.4.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$y + C_{1} = \int - x - 4 + \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int - x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.8

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.10

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $20$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

خطوة 2.3.11

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ ومجموعهما $b = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{1}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

خطوة 2.3.11.1.1.1.2

أعِد كتابة $4$ في صورة $- 1$ زائد $5$

$\frac{1}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

خطوة 2.3.11.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

خطوة 2.3.11.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{1}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

خطوة 2.3.11.1.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{1}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

خطوة 2.3.11.1.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 1$ .

$\frac{1}{(- x - 1) (x - 5)}$

خطوة 2.3.11.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

خطوة 2.3.11.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $- x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 5)$ على $1$ .

$1 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.7.3

انقُل $- 5$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.1.7.4.2

اقسِم $(B) (- x - 1)$ على $1$ .

$1 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

خطوة 2.3.11.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

خطوة 2.3.11.1.7.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

خطوة 2.3.11.1.7.7

انقُل $- 1$ إلى يسار $B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

خطوة 2.3.11.1.7.8

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - B$

خطوة 2.3.11.1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.8.1

انقُل $B$ .

$1 = A x - 5 A - x B - B$

خطوة 2.3.11.1.8.2

انقُل $- 5 A$ .

$1 = A x - x B - 5 A - B$

خطوة 2.3.11.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A - 1 B$

خطوة 2.3.11.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 5 A - 1 B$

خطوة 2.3.11.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

خطوة 2.3.11.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A - 1 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A - 1 B = 0$ .

$A - 1 B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

خطوة 2.3.11.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$A - B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

خطوة 2.3.11.3.1.3

أضف $B$ إلى كلا المتعادلين.

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

خطوة 2.3.11.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 5 A - 1 B$ بـ $B$ .

$1 = - 5 B - 1 B$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.2.2.1

بسّط $- 5 B - 1 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$1 = - 5 B - B$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.2.2.1.2

اطرح $B$ من $- 5 B$ .

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - 6 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 6 B = 1$ .

$- 6 B = 1$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.3.2

اقسِم كل حد في $- 6 B = 1$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 6 B = 1$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.3.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

خطوة 2.3.11.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- \frac{1}{6}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = B$ بـ $- \frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

خطوة 2.3.11.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.4.2.1

احذِف الأقواس.

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

خطوة 2.3.11.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - \frac{1}{6}, B = - \frac{1}{6}$

خطوة 2.3.11.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.2

اضرب $\frac{1}{- x - 1}$ في $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(- x - 1) \cdot 6} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.3

انقُل $6$ إلى يسار $- x - 1$ .

$- \frac{1}{6 \cdot (- x - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.5.7.1

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{1}{6 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.7.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6 (x + 1)}) + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.7.4

اضرب $\frac{1}{6 (x + 1)}$ في $1$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.8

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 5}$

خطوة 2.3.11.5.9

اضرب $\frac{1}{x - 5}$ في $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{(x - 5) \cdot 6}$

خطوة 2.3.11.5.10

انقُل $6$ إلى يسار $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6 (x - 5)} d x$

خطوة 2.3.12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\int \frac{1}{6 (x + 1)} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

خطوة 2.3.13

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

خطوة 2.3.14

لنفترض أن $u_{1} = x + 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.14.1

افترض أن $u_{1} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.14.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.14.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.14.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.14.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.14.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.14.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

خطوة 2.3.15

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

خطوة 2.3.16

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \int \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

خطوة 2.3.17

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 5} d x))$

خطوة 2.3.18

لنفترض أن $u_{2} = x - 5$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.18.1

افترض أن $u_{2} = x - 5$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.18.1.1

أوجِد مشتقة $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

خطوة 2.3.18.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.3.18.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.3.18.1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.18.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.18.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.19

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

خطوة 2.3.20

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

خطوة 2.3.21

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.21.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

خطوة 2.3.21.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C$