حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = x^{3} + 3 x^{4}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 3 x^{4} + x^{3}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 3 x^{4} + x^{3}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 3 x^{4} + x^{3}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{2 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.2.4.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 \frac{1}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

خطوة 3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (x^{2} x)$

خطوة 3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (x^{2} x)$

خطوة 3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + x$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 3 x^{2} + x$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} + x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 x^{2} + x d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x + \int x d x$

خطوة 7.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

خطوة 7.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.5.2

بسّط.

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x^{3} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = x^{3 + 2} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.1.2

أضف $3$ و $2$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

اضرب $\frac{x^{2}}{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.2.1

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{2} x^{2}}{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = x^{5} + \frac{x^{2 + 2}}{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.2.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{4}}{2} + C x^{2}$