حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y y' = 1 - x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ على $x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اقسِم كل حد في $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ على $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

خطوة 2.1.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

خطوة 2.1.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

خطوة 2.1.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

خطوة 2.1.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لكتابة $- \frac{x}{y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 2.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x y$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{x}{y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

خطوة 2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

خطوة 2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة $x \cdot x$ بالصيغة $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

خطوة 2.2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

خطوة 2.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 2.4

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

خطوة 2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

خطوة 3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أعِد ترتيب $x$ و $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

خطوة 3.3.4.2

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

خطوة 3.3.4.3

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

خطوة 3.3.4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

خطوة 3.3.4.5

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

خطوة 3.3.5

أخرِج السالب.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

خطوة 3.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

خطوة 3.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

خطوة 3.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

خطوة 3.3.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

خطوة 3.3.10

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

خطوة 3.3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.1

اطرح $x^{2}$ من $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

خطوة 3.3.11.2

أعِد ترتيب $1$ و $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

خطوة 3.3.12

اقسِم $- x^{2} + 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.12.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 3.3.12.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

خطوة 3.3.12.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

خطوة 3.3.12.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

خطوة 3.3.12.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

خطوة 3.3.12.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

خطوة 3.3.12.7

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.13

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.15

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3.16

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 3.3.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.17.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 3.3.17.2

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 4.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 4.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 4.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 4.3

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

خطوة 4.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 4.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 5

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$