حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (y)$ من $\tan (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

خطوة 1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

خطوة 1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

خطوة 1.2.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ إلى $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

خطوة 2.2.2

بما أن مشتق $\tan (y)$ هو $\sec^{2} (y)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (y)$ هو $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

خطوة 3

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل المماس.

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$