حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3 x^{3} \sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x^{3} \sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

خطوة 2.2

بما أن $\cos (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{4} \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

خطوة 2.4

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب عوامل $4 \cos (y) x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 x^{3} \cos (y)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $4 x^{3} \cos (y)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{4} \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $x^{3} \cos (y)$ من $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $x^{3} \cos (y)$ من $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $x^{3} \cos (y)$ من $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $x^{3} \cos (y)$ من $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $4$ من $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

خطوة 4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{x}$

خطوة 4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- \ln (| x |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x + 3 x^{3} \sin (y)$ في $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{3} \sin (y)$ .

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x^{4} \cos (y)$ في $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4} \cos (y)$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x^{3}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

خطوة 8.2

تكامل $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

خطوة 8.3

بسّط.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} \sin (y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $\sin (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{3} \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 11.3.3

انقُل $3$ إلى يسار $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $3 x^{2} \sin (y)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $3 x^{2} \sin (y)$ من $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

خطوة 13.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$