حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 6 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 6 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $6 + x$ .

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 2.3.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اضرب $- 1$ في $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اجمع $- 7$ و $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $6$ عن $y$ في $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ .

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ .

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

خطوة 4.2

أضف $6$ و $0$ .

$- \frac{7}{6} + K = 6$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $\frac{7}{6}$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

خطوة 4.3.3

اجمع $6$ و $\frac{6}{6}$ .

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $6$ في $6$ .

$K = \frac{36 + 7}{6}$

خطوة 4.3.5.2

أضف $36$ و $7$ .

$K = \frac{43}{6}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{43}{6}$ عن $K$ في $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{43}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

خطوة 5.2

لكتابة $- \frac{7}{6 + x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

خطوة 5.3

لكتابة $\frac{43}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

خطوة 5.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(6 + x) \cdot 6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $\frac{7}{6 + x}$ في $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

خطوة 5.4.2

اضرب $\frac{43}{6}$ في $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

خطوة 5.4.3

أعِد ترتيب عوامل $(6 + x) \cdot 6$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

خطوة 5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $- 7$ في $6$ .

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

خطوة 5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

خطوة 5.6.3

اضرب $43$ في $6$ .

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

خطوة 5.6.4

أضف $- 42$ و $258$ .

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$