حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

خطوة 1

لنفترض أن $v = t^{2}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $t^{2}$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d w}$ بإيجاد مشتقة $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ هو $f' (g (w)) g' (w)$ حيث $f (w) = w^{2}$ و $g (w) = t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d w} [t]$ بالصيغة $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

خطوة 3

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2 t$ من $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة العبارة.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

خطوة 4

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $v$ من كلا المتعادلين.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ على $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

خطوة 4.3.2

اقسِم $\frac{d v}{d w}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

خطوة 4.4

احذِف العامل المشترك لـ $w^{3}$ و $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $w$ من $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

خطوة 4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ارفع $w$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

خطوة 4.4.2.2

أخرِج العامل $w$ من $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

خطوة 4.4.2.5

اقسِم $- 2 w^{2}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

خطوة 4.5

أخرِج العامل $v$ من $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب $v$ و $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

خطوة 5

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (w) d w}$ ، حيث $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{w}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

خطوة 5.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $w$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

خطوة 5.2.3

تكامل $\frac{1}{w}$ بالنسبة إلى $w$ هو $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

خطوة 5.2.4

بسّط.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

خطوة 5.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (w)}$

خطوة 5.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

خطوة 5.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$w^{- 1}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

خطوة 6

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{w}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $\frac{1}{w}$ و $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.4

اجمع $\frac{1}{w}$ و $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.5

اضرب $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اضرب $\frac{v}{w}$ في $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.5.2

ارفع $w$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.5.3

ارفع $w$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

خطوة 6.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

خطوة 6.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $w$ من $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

خطوة 6.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

خطوة 6.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

خطوة 7

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

خطوة 8

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

خطوة 9

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

خطوة 10

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $w$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

خطوة 10.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $w$ بالنسبة إلى $w$ هو $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

خطوة 10.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أعِد كتابة $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ بالصيغة $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

خطوة 10.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

خطوة 10.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

خطوة 10.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

خطوة 10.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

خطوة 10.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

خطوة 10.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

خطوة 11

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{w}$ و $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

خطوة 11.2

اضرب كلا الطرفين في $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

خطوة 11.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$v = (- w^{2} + C) w$

خطوة 11.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

بسّط $(- w^{2} + C) w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$v = - w^{2} w + C w$

خطوة 11.3.2.1.2

اضرب $w^{2}$ في $w$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1.2.1

انقُل $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

خطوة 11.3.2.1.2.2

اضرب $w$ في $w^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1.2.2.1

ارفع $w$ إلى القوة $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

خطوة 11.3.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

خطوة 11.3.2.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

خطوة 13

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

خطوة 13.2

أخرِج العامل $w$ من $- w^{3} + C w$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أخرِج العامل $w$ من $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

خطوة 13.2.2

أخرِج العامل $w$ من $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

خطوة 13.2.3

أخرِج العامل $w$ من $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

خطوة 13.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

خطوة 13.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

خطوة 13.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$