حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (1 + y^{2}) d x - y (1 + x^{2}) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x (1 + y^{2}) d x$ من كلا المتعادلين.

$- y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $1 + x^{2}$ من $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{- 1}{1 + y^{2}}$ و $y$ .

$\frac{- y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.6.2

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

خطوة 3.6.3

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $x (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

خطوة 3.6.4

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

خطوة 3.6.5

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ و $x$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u_{1} = 1 + y^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u_{1} = 1 + y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

خطوة 4.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 4.2.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 4.2.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 y$

خطوة 4.2.2.1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$2 y$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 1 + y^{2} |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 1 + y^{2} |)$ في $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $\ln (| 1 + x^{2} |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2)$

خطوة 5.2.2.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C)$

خطوة 5.2.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - - \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

خطوة 5.2.2.1.6

اضرب $- - \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 1 \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

خطوة 5.2.2.1.6.2

اضرب $\ln (| 1 + x^{2} |)$ في $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

خطوة 5.2.2.1.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - 2 C$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - 2 C$

خطوة 5.4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$

خطوة 5.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- 2 C}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

خطوة 5.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$

خطوة 5.7.2

اضرب كلا الطرفين في $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

خطوة 5.7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| 1 + x^{2} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

خطوة 5.7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 + y^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

خطوة 5.7.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 1 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

خطوة 5.7.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

خطوة 5.7.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

خطوة 5.7.4.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1$

خطوة 5.7.4.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 1}$

خطوة 6.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 1}$