حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $(1 + e^{x}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + e^{x}$ و $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

خطوة 1.6

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

خطوة 1.7

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

خطوة 5.2

أضف $0$ و $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $(1 + e^{x}) y = C$ على $1 + e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $(1 + e^{x}) y = C$ على $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$