حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$ , $s (0) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . إذن $d u_{1} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - \frac{π}{12}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

خطوة 2.3.2.1.4

بما أن $- \frac{π}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{12}$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.3.3

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.3.6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 2.3.7

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 2.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 2.3.9

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 2.3.9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 2.3.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 2.3.10

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 2.3.11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 2.3.12

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

خطوة 2.3.13

بسّط.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

خطوة 2.3.14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

خطوة 2.3.14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

خطوة 2.3.14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

خطوة 2.3.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{12}$ إلى بسط الكسر.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.2.2

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.4

اجمع $\sin (2 t - \frac{π}{6})$ و $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.5

طبّق خاصية التوزيع.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.6.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{12}$ إلى بسط الكسر.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.1.2

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.6.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ إلى بسط الكسر.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.6.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

خطوة 2.3.15.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $3$ عن $s$ في $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ .

$3 = 4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$ .

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (0 - \frac{π}{6}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.3

اطرح $\frac{π}{6}$ من $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (- \frac{π}{6}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.4

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$0 - \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$0 - \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$0 - \frac{π}{3} - 1 \cdot - 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.1.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 - \frac{π}{3} + 1 + K = 3$

خطوة 4.2.1.2

اطرح $\frac{π}{3}$ من $0$ .

$- \frac{π}{3} + 1 + K = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $\frac{π}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$1 + K = 3 + \frac{π}{3}$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$K = 3 + \frac{π}{3} - 1$

خطوة 4.3.3

اطرح $1$ من $3$ .

$K = 2 + \frac{π}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $2 + \frac{π}{3}$ عن $K$ في $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $2 + \frac{π}{3}$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2 + \frac{π}{3}$

خطوة 5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2 + \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $- \frac{π}{3}$ و $\frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2$

خطوة 5.2.2

أضف $4 t$ و $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 2$