حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(e^{x} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.2

اضرب $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $y^{2}$ في $y^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.3.1.2

اطرح $2$ من $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.3.3

أعِد كتابة $- 1 y^{- 2}$ بالصيغة $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

بسّط.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.2.8.2.2

اضرب $\frac{1}{y}$ في $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

خطوة 2.3.3

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$