حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

خطوة 2.2.2

اقسِم $\frac{d v}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

خطوة 2.3.2

اقسِم $6$ على $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $v$ من $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب $v$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

خطوة 3

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 3.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

خطوة 3.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

خطوة 3.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 4

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

خطوة 4.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

خطوة 4.3

انقُل $6$ إلى يسار $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

خطوة 5

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

خطوة 6

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

خطوة 8

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 8.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 8.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

خطوة 8.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

خطوة 8.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

خطوة 8.3.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

خطوة 9

اقسِم كل حد في $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اقسِم كل حد في $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 9.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 9.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 9.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 9.3.1.2.4

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

خطوة 11

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

خطوة 12

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 12.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 12.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 12.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 12.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 12.3.4

بما أن $C_{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 12.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 12.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 12.3.5.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 12.3.5.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

خطوة 12.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

خطوة 12.3.7

بسّط.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

خطوة 12.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

خطوة 12.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$