حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 3 (y + x^{2}) = \frac{\sin (x)}{x}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y + 3 x^{2} = \frac{\sin (x)}{x}$

خطوة 1.1.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{\sin (x)}{x} - 3 x^{2}$

خطوة 1.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x}{1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.4.2.5

اقسِم $- 3 x$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $y$ من $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{3})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{3}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{3} x + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

انقُل $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{1 + 3} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.2.3

أضف $1$ و $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{2} \frac{\sin (x)}{x}$

خطوة 3.3.4

اجمع $x^{2}$ و $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

خطوة 3.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} \sin (x)$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x}$

خطوة 3.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

خطوة 3.3.5.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

خطوة 3.3.5.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x \sin (x)}{1}$

خطوة 3.3.5.2.5

اقسِم $x \sin (x)$ على $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

خطوة 7.2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$x^{3} y = - 3 \int x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x \sin (x) d x$

خطوة 7.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

خطوة 7.5

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

خطوة 7.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

خطوة 7.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

خطوة 7.7.2

اضرب $\int \cos (x) d x$ في $1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

خطوة 7.8

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

خطوة 7.9

بسّط.

$x^{3} y = - \frac{3 x^{5}}{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

خطوة 7.10

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ على $x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ على $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- \frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $- \frac{3}{5} x^{2}$ على $1$ .

$y = - \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot x^{2}}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- x \cos (x)$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$