حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{2} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1.2.2

اجمع.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $\sqrt{y}$ من $2 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (2 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (2 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (\sqrt{y})$ من $2 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 2} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 2} \cos^{2} (\sqrt{y})$

خطوة 1.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2}$

خطوة 1.2.5

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب في $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.1.2

افصِل الكسور.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.1.3

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ إلى $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.1.4

اضرب $\sqrt{y}$ في $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.1.5

اجمع $\frac{1}{\sqrt{y}}$ و $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.2.4

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.2.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.3

لنفترض أن $u = y^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ ، لذا $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

افترض أن $u = y^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أوجِد مشتقة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 2.2.3.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 2.2.3.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.2.3.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.2.3.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 2.2.3.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 2.2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 2.2.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.2.3.1.8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.5

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{2} d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{2} x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x + K$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} x + K$ على $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{2} x}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{2} x}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ على $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{2} x}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3

اضرب $\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.3.1

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.1.3.1.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $y^{\frac{1}{2}}$ التي تساوي $u$ .

$\tan (u) = \frac{x}{4} + \frac{K}{2}$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب $\frac{x}{4}$ و $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{4}$

خطوة 3.4

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $u$ من داخل المماس.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})$

خطوة 3.5

عوّض بـ $y^{\frac{1}{2}}$ عن $u$ وأوجِد حل $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})$

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

بسّط.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{4})}^{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{4})}^{2}$