حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $x$ و $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = \ln (y)$ . إذن $d u = \frac{1}{y} d y$ ، لذا $y d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = \ln (y)$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

خطوة 2.2.1.1.2

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u d u = \int x d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.3.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.3.2.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

خطوة 3.3.2.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 3.3.2.5

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.3.2.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 3.3.2.7

أعِد كتابة $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

خطوة 3.3.2.8

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 3.3.2.9

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + K}}$