حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{y^{3} - 1}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.3.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y^{3} - 1$ من $x^{2} (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y^{3} - 1$ من $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $x^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . إذن $d u = 3 y^{2} d y$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

خطوة 4.2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y - 1$ و $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.5

أضف $2 y + 1$ و $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.1.1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

خطوة 4.2.1.1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

خطوة 4.2.1.1.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

خطوة 4.2.1.1.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.9.1

أضف $1$ و $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

خطوة 4.2.1.1.3.9.2

اضرب $y^{2} + y + 1$ في $1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.4.4.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.6

اضرب $y$ في $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.8

أضف $- 2 y$ و $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.9

أضف $2 y^{2}$ و $y^{2}$ .

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.10

أضف $- y$ و $y$ .

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.11

أضف $3 y^{2}$ و $0$ .

$3 y^{2} - 1 + 1$

خطوة 4.2.1.1.4.4.12

أضف $- 1$ و $1$ .

$3 y^{2} + 0$

خطوة 4.2.1.1.4.4.13

أضف $3 y^{2}$ و $0$ .

$3 y^{2}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.1.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.2

اضرب $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.3.1.2

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.3.2

بسّط $x^{0}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.3.3

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

خطوة 4.3.7

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

وسّع $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $y \cdot 1$ و $- 1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.2

اطرح $1 y$ من $1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.1.3

أضف $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ و $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.2.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.2.1.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.2.1.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2.3

أعِد كتابة $- 1 y^{2}$ بالصيغة $- y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.3.1.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3.1.2

أضف $y^{3}$ و $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| y^{3} - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $3 (- \frac{1}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

خطوة 5.2.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ .

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

خطوة 5.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

خطوة 5.5.3

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

خطوة 5.5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

لكتابة $3 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x \cdot x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x \cdot x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.3.7

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

خطوة 5.5.5.4

لكتابة $3 C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.6.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 (x + 1) (x - 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 C x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.2

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.6.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.3.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.3.2

أضف $- x$ و $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

خطوة 5.5.5.6.3.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$