حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x + x y^{2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $x + x y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + x y^{2}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y^{2}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x (y^{2})$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y^{2})$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2}))$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $1 + y^{2}$ من $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \tan (\frac{x^{2}}{2} + K)$