حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = x^{3} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{3} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $- 1$ عن $x$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ .

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

خطوة 4.2.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} + K = 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{1}{4}$ من كلا المتعادلين.

$K = 2 - \frac{1}{4}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 4.3.3

اجمع $2$ و $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$K = \frac{8 - 1}{4}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $1$ من $8$ .

$K = \frac{7}{4}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{7}{4}$ عن $K$ في $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$