حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ , $y (1) = 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ على $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d x}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y^{1}}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y}{1}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $2 y$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = 2 y$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $x$ من $\frac{- x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 1}{y} = 2 y$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $x$ و $\frac{- 1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 1}{y} x = 2 y$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (y) d y}$ ، حيث $P (y) = \frac{- 1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 1}{y} d y}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$e^{- (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$e^{- \ln (| y |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (y)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (y^{- 1})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$y^{- 1}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{y}$ و $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (- \frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} (\frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{x}{y}$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y \cdot y} = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y} = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.5.3

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y^{1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1 + 1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1}{y} (2 y)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2 \frac{1}{y} y$

خطوة 3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] = 2$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] d y = \int 2 d y$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{y} x = \int 2 d y$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{y} x = 2 y + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x$ .

$\frac{x}{y} = 2 y + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = (2 y + C) y$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(2 y + C) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = 2 y \cdot y + C y$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

انقُل $y$ .

$x = 2 (y \cdot y) + C y$

خطوة 8.3.2.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$x = 2 y^{2} + C y$

خطوة 8.3.2.1.3

أعِد ترتيب $2 y^{2}$ و $C y$ .

$x = C y + 2 y^{2}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $y$ وبـ $5$ عن $x$ في $x = C y + 2 y^{2}$ .

$5 = C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$ .

$C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $C$ في $1$ .

$C + 2 \cdot 1^{2} = 5$

خطوة 10.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$C + 2 \cdot 1 = 5$

خطوة 10.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$C + 2 = 5$

خطوة 10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$C = 5 - 2$

خطوة 10.3.2

اطرح $2$ من $5$ .

$C = 3$

خطوة 11

عوّض بـ $3$ عن $C$ في $x = C y + 2 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $3$ .

$x = 3 y + 2 y^{2}$