حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 4 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $1 + 4 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.5.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.5.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.5.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

خطوة 2.2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

خطوة 3.2

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$