حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ على $1 + x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ على $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + x}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{1 + x}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{1 + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 1 + x$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |) = C$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

بسّط $- 4 \ln (| 1 + x |)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{4}) = C$

خطوة 3.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| 1 + x |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{4}) = C$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في ${(1 + x)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(1 + x)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

بسّط $e^{C} {(1 + x)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$| y | = e^{C} (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

خطوة 3.5.4.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.3

اضرب $4$ في $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.5

اضرب $6$ في $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

خطوة 3.5.4.1.2.1.6

اضرب $4$ في $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4})$

خطوة 3.5.4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

خطوة 3.5.4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.3.1

اضرب $e^{C}$ في $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

خطوة 3.5.4.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

خطوة 3.5.4.1.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

خطوة 3.5.4.1.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$

خطوة 3.5.4.1.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$ .

$| y | = e^{C} + 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C}$

خطوة 3.5.4.1.5

انقُل $e^{C}$ .

$| y | = 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + e^{C}$

خطوة 3.5.4.1.6

انقُل $4 x e^{C}$ .

$| y | = 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

خطوة 3.5.4.1.7

انقُل $6 x^{2} e^{C}$ .

$| y | = 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

خطوة 3.5.4.1.8

أعِد ترتيب $4 x^{3} e^{C}$ و $x^{4} e^{C}$ .

$| y | = x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C})$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm (x^{4} C + 4 x^{3} C + 6 x^{2} C + 4 x C + C)$