حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y - 10 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 10 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 10 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

خطوة 5.3.2

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

خطوة 6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

خطوة 6.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | x | + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $2 y - 10 x^{2}$ في $x$ .

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل $x$ .

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

خطوة 7.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

خطوة 7.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

خطوة 7.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $x$ في $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

خطوة 7.5

اضرب $x$ في $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{2}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 12.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 12.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

خطوة 13.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 y x$ و $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

خطوة 13.1.2.2

اطرح $2 x y$ من $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

خطوة 13.1.2.3

أضف $- 10 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 10 x^{3}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

خطوة 14.3

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 10$ خارج التكامل.

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

خطوة 14.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 14.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

أعِد كتابة $- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ بالصيغة $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

خطوة 14.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

خطوة 14.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

خطوة 14.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

خطوة 14.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

خطوة 14.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

خطوة 14.5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

خطوة 16

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $x^{4}$ و $\frac{5}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

خطوة 16.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$