حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ على $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ على $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

خطوة 1.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

خطوة 1.1.3.1.2

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

خطوة 1.1.3.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

خطوة 1.1.3.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

خطوة 1.1.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

خطوة 1.1.3.3.2

ارفع $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

خطوة 1.1.3.3.3

ارفع $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

خطوة 1.1.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.1.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ بالصيغة $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ في صورة ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.1.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.1.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

خطوة 1.1.3.3.6.5

بسّط.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . إذن $d u = - 8 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + 2 x$ و $g (x) = 1 - 2 x$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.6.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.6.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $1 + 2 x$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.1.1.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.1.1.3.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.1.1.3.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.1.1.3.11

انقُل $2$ إلى يسار $1 - 2 x$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.3.13

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

خطوة 2.3.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

خطوة 2.3.1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

خطوة 2.3.1.1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.3.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

خطوة 2.3.1.1.4.3.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

خطوة 2.3.1.1.4.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

خطوة 2.3.1.1.4.3.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

خطوة 2.3.1.1.4.3.5

أضف $- 2$ و $2$ .

$- 4 x + 0 - 4 x$

خطوة 2.3.1.1.4.3.6

أضف $- 4 x$ و $0$ .

$- 4 x - 4 x$

خطوة 2.3.1.1.4.3.7

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$- 8 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $\frac{\sqrt{u}}{u}$ في $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

خطوة 2.3.2.3

انقُل $8$ إلى يسار $u$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

اضرب $u$ في $u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.3.5.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.5.3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.5.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.5.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$