حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $s$ من $\frac{s}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $s$ و $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = \frac{1}{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (t)}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$t$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $t$ .

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{t}$ و $s$ .

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

خطوة 7.2

تكامل $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

خطوة 7.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

خطوة 7.4

تكامل $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط.

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

خطوة 7.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

أضف $- \cos (t)$ و $\cos (t)$ .

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

خطوة 7.5.2.2

أضف $t \sin (t)$ و $0$ .

$t s = t \sin (t) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $t s = t \sin (t) + C$ على $t$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $t s = t \sin (t) + C$ على $t$ .

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $s$ على $1$ .

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

خطوة 8.3.1.2

اقسِم $\sin (t)$ على $1$ .

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$