حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم $\frac{y^{2} - x^{2}}{x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{y^{2} - x^{2}}{x y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x}{y}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x}{y}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - V^{- 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V}$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V} - V$

خطوة 6.1.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $V - \frac{1}{V} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

اطرح $V$ من $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} + 0$

خطوة 6.1.1.2.2.2

أضف $- \frac{1}{V}$ و $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V}$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V}$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$V \frac{d V}{d x} = - V (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V})$

خطوة 6.1.4.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{V}$ .

$V \frac{d V}{d x} = - V \frac{1}{x V}$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.3.1

أخرِج العامل $V$ من $- V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \cdot - 1 \frac{1}{x V}$

خطوة 6.1.4.3.2

أخرِج العامل $V$ من $x V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \cdot - 1 \frac{1}{V x}$

خطوة 6.1.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$V \frac{d V}{d x} = V \cdot - 1 \frac{1}{V x}$

خطوة 6.1.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$V \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$V d V = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int V d V = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $V$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 6.2.3.3

بسّط.

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} V^{2} = - \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} V^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $V^{2}$ .

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$V^{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

بسّط $2 (- \ln (| x |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V^{2} = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

خطوة 6.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$V^{2} = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 6.3.3

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$V^{2} = - \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

خطوة 6.3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

خطوة 6.3.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$V = \pm \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 6.3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 6.3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 6.3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

خطوة 6.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد الكتابة.

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد الكتابة.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

خطوة 9.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

خطوة 9.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

خطوة 9.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

خطوة 10

اسرِد الحلول.

$y = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$