حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 x y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y - 1]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x y - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $3 y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $3 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 3 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y = 3 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $3 y$ .

$\frac{3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2}$ .

$\frac{3 y - (2 y)}{y^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y - 1 \cdot 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y$ .

$\frac{y \cdot 3 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (3 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y (3 - 2)}{y^{2}}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

خطوة 4.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{y}{y^{2}}$

خطوة 4.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y^{1}}{y^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

خطوة 4.3.4.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

خطوة 4.3.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

خطوة 4.3.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | y | + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$ في عامل التكامل $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

$y^{2} y d x + (3 x y - 1) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y^{2} y^{1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

خطوة 6.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{2 + 1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

خطوة 6.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $3 x y - 1$ في $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y - 1) y d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} d x + (3 x y \cdot y - 1 y) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل $y$ .

$y^{3} d x + (3 x (y \cdot y) - 1 y) d y = 0$

خطوة 6.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - 1 y) d y = 0$

خطوة 6.6

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - y) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y^{3}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - y$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - y$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{3} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

خطوة 11.3.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - y$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $3 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 x y^{2}$ و $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - y - 3 y^{2} x$

خطوة 12.1.2.2

اطرح $3 y^{2} x$ من $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

خطوة 12.1.2.3

أضف $- y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y d y$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 13.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 15

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{y^{2}}{2} + C$