حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (x) + \sin (x) d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int \cos (x) d x + \int \sin (x) d x)$

خطوة 2.3.3

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} + \int \sin (x) d x)$

خطوة 2.3.4

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} - \cos (x) + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \sin (x) + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \sin (x) + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\cos (x)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \sin (x) - \cos (x) + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$