حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

خطوة 1.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

خطوة 1.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{2 y}{x}$

خطوة 1.3

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{2 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 2$

خطوة 1.3.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 2 \cdot \frac{y}{x}$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} + 2 \cdot V$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} + 2 \cdot V$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} + 2 V$

خطوة 6.1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 2 V - V$

خطوة 6.1.1.2.2

اطرح $V$ من $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.1.2

اضرب $\frac{1}{V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x}$

خطوة 6.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

لكتابة $\frac{V}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

خطوة 6.1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $V x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اضرب $\frac{V}{x}$ في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{x V}$

خطوة 6.1.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{V x}$

خطوة 6.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V \cdot V}{V x}$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $V$ في $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V x}$

خطوة 6.1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1

اضرب $\frac{1 + V^{2}}{V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

خطوة 6.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.2.1

أخرِج العامل $V$ من $V x$ .

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V (x)}$

خطوة 6.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

خطوة 6.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

خطوة 6.1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + V^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

خطوة 6.1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

لنفترض أن $u = 1 + V^{2}$ . إذن $d u = 2 V d V$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = V d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

افترض أن $u = 1 + V^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

خطوة 6.2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + V^{2}$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

خطوة 6.2.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

خطوة 6.2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 V$

خطوة 6.2.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 V$ .

$2 V$

خطوة 6.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + V^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 1 + V^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 6.3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

خطوة 6.3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

بسّط $\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

خطوة 6.3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

خطوة 6.3.4.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

خطوة 6.3.5

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

خطوة 6.3.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}$

خطوة 6.3.7

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

خطوة 6.3.7.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

خطوة 6.3.7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

خطوة 6.3.7.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 + V^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

خطوة 6.3.7.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + V^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

خطوة 6.3.7.4

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.7.4.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

خطوة 6.3.7.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

خطوة 6.3.7.4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

خطوة 6.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

خطوة 8.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$