حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 4 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x y]$

خطوة 2.2

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $4 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 4 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 y = 4 y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $4 y$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $4 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $4 x y$ .

$\frac{2 y - (4 y)}{4 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y - 1 \cdot 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 4 y}{4 x y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 1 \cdot 4 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)}{4 x y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 4)}{4 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{y (2 - 4)}{4 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اطرح $4$ من $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{4 x}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{2 x}$

خطوة 4.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2 x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.4

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- \frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أعِد ترتيب $\ln (| x |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| x |))} + C$

خطوة 5.5.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

خطوة 5.5.2

بسّط $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

خطوة 5.5.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

خطوة 5.5.4

اضرب الأُسس في ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

خطوة 5.5.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

خطوة 5.5.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{2}} + C$

خطوة 5.5.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x^{2} + y^{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $x^{2} + y^{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $4 x y$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + x y \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

خطوة 6.4.2

اجمع $x$ و $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

خطوة 6.4.3

اجمع $y$ و $\frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{y (x \cdot 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

خطوة 6.5

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x \cdot 4) x^{- \frac{1}{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.6.2

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.6.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.6.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4) d y = 0$

خطوة 6.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 y x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 y x^{\frac{1}{2}} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $4 x^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4 x^{\frac{1}{2}}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \int y d y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \frac{4}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.2

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.3

انقُل $4$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.4

اضرب $4$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} y^{2} + C$

خطوة 8.3.2.6.4

اقسِم $2 x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $2 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.9

اجمع $2$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{2} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.10

اجمع $y^{2}$ و $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y^{2} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.11

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.12

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.13

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3.14

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بسّط $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 12.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 12.1.1.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1.3.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 12.1.1.1.3.2

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.2.1

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{2}} x^{2}) = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.2.2.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2.2.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{3}{2}} = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $x^{\frac{3}{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $x^{\frac{3}{2}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$g (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 15

بسّط $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$