حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (10 - x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 10 - x d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

خطوة 2.3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $- 1$ عن $y$ في $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ .

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

خطوة 4.2

بسّط $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $10$ في $0$ .

$0 + 0 + K = - 1$

خطوة 4.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + K = - 1$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = - 1$

خطوة 5

عوّض بـ $- 1$ عن $K$ في $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 1$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

خطوة 5.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$