حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{y} - \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

خطوة 2.3.3

اضرب $\frac{1}{y}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- \sin (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $\frac{1}{y}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\frac{1}{y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = \frac{1}{y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = \frac{1}{y}$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

خطوة 4.3.2

اقسِم $\frac{1}{y} + 0$ على $1$ .

$\frac{1}{y} + 0$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

خطوة 5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

خطوة 5.2.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = | y | + C$

خطوة 6

اضرب $1$ في $y$ .

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = y x + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

خطوة 11.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

خطوة 12.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - y \sin (y) - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

خطوة 12.1.2.2

أضف $- y \sin (y)$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y \sin (y)$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

خطوة 13.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

خطوة 13.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = \sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

خطوة 13.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

خطوة 13.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

خطوة 13.6.2

اضرب $\int \cos (y) d y$ في $1$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

خطوة 13.7

تكامل $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\sin (y)$ .

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

خطوة 13.8

أعِد كتابة $- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ بالصيغة $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ .

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

خطوة 15.2

اضرب $- (- y \cos (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

خطوة 15.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$