حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$7 y \frac{d y}{d x} = 2 x^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$7 y d y = 2 x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 7 y d y = \int 2 x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$7 \int y d y = \int 2 x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 2 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2

اجمع $7$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{7}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2}) = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{7}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 y^{2}}{2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

اجمع.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.4.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $\frac{2}{7} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{2 x^{3}}{3} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = \frac{2}{7} \cdot \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2}{7} K$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع.

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2}{7} K$

خطوة 3.2.2.1.1.4

اجمع $\frac{2}{7}$ و $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

خطوة 3.2.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

خطوة 3.2.2.1.2.2

اضرب $7$ في $3$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}$

خطوة 3.2.2.1.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $\frac{2 K}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.4.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $21$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $\frac{2 K}{7}$ في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{7 \cdot 3}}$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $7$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{21}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K \cdot 3}{21}}$

خطوة 3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{21}}$

خطوة 3.4.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{21}}$

خطوة 3.4.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K \cdot 3)}{21}}$

خطوة 3.4.4.2

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{21}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{21}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$

خطوة 3.4.6

اضرب $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ في $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

خطوة 3.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ في $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

خطوة 3.4.7.2

ارفع $\sqrt{21}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

خطوة 3.4.7.3

ارفع $\sqrt{21}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

خطوة 3.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

خطوة 3.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{21}}^{2}$ بالصيغة $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{21}$ في صورة $21^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{1}}$

خطوة 3.4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21}$

خطوة 3.4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K) \cdot 21}}{21}$

خطوة 3.4.8.2

اضرب $21$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + 3 K)}}{21}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 x^{3} + K)}}{21}$