حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{3})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{3}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = e^{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = e^{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{3} y = \int e^{x} d x$

خطوة 7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$x^{3} y = e^{x} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{3} y = e^{x} + C$ على $x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{3} y = e^{x} + C$ على $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$