حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (y)$ من $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ إلى $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.2.2

بما أن مشتق $\tan (y)$ هو $\sec^{2} (y)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (y)$ هو $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

خطوة 3.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

خطوة 3.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

خطوة 3.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

خطوة 3.5

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $\tan (y)$ من داخل قوس الجيب.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

خطوة 3.6

أضف $K$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

خطوة 3.7

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل المماس.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

خطوة 3.8

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

خطوة 3.9

خُذ دالة قوس الجيب العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $\tan (y)$ من داخل قوس الجيب.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

خطوة 3.10

أضف $K$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

خطوة 3.11

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل المماس.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

خطوة 4

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $\frac{π}{4}$ عن $y$ في $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

خطوة 5.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $K$ من داخل الجيب.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط $\sin (0) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

خطوة 5.3.1.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

خطوة 5.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

احذِف الأقواس.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

خطوة 5.6.2

احذِف الأقواس.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

خطوة 5.6.3

اطرح $0.90333911$ من $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

خطوة 5.7

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ صحيحة.

$لا يوجد حل$