حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $e^{y}$ من $x e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

خطوة 3.3

وسّع $\ln (x^{4})$ بنقل $4$ خارج اللوغاريتم.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

خطوة 3.4

بسّط $4 \ln (x)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$