حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} y + 2 y + 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x^{2} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $2 x^{2} + 2$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x^{2} + 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $6 x^{2} + 2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x^{2} + 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $6 x^{2} + 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 x^{3} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $2 x^{3} + 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $6 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

خطوة 4.3.2.5

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

خطوة 4.3.2.6

أضف $- 4 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

خطوة 4.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

خطوة 5.4

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 5.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 5.4.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

خطوة 5.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

خطوة 5.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 5.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 5.9

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

خطوة 5.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

خطوة 5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

بسّط $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

خطوة 5.11.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

خطوة 5.11.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x^{2} y + 2 y + 5$ في $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $2 x^{2} y + 2 y + 5$ في $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $2 x^{3} + 2 x$ في $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $2 x^{3} + 2 x$ في $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

خطوة 6.5

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

خطوة 6.5.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

خطوة 6.6.2

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 2 x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 2 x y + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 11.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

خطوة 12.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

قسّم الكسر $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ إلى كسرين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

خطوة 12.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x^{2} y + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1.1

أخرِج العامل $2 y$ من $2 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

خطوة 12.1.2.2.1.2

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

خطوة 12.1.2.2.1.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

خطوة 12.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

خطوة 12.1.2.2.2.2

اقسِم $2 y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $2 y$ من $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

خطوة 12.1.3.2

أضف $0$ و $\frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{5}{x^{2} + 1}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 13.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 13.4

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 13.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 13.6

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C$ .

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

خطوة 13.7

بسّط.

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$