حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + x y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

خطوة 1.3.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

خطوة 2.2.2

بما أن $5 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

خطوة 2.4

بما أن $y^{3} \sin (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{3} \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

خطوة 2.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اطرح $y$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $- y$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $3 y^{2} x + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- y$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $3 y^{2} x + 2 y$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} + x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} + x y^{3}$ .

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 y$ من $- y$ .

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $3 y$ من $- 3 y^{2} x - 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $3 y$ من $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $3 y$ من $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $3 y$ من $3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} + x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب في $1$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y (- y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} (1 + x y)$ .

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- x y - 1$ و $x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x y$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.4

أعِد كتابة $- (x y + 1)$ بالصيغة $- 1 (x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.6.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

خطوة 4.3.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

خطوة 4.3.8

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} + x y^{3}$ .

$- \frac{3}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2} + x y^{3}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y^{2} + x y^{3}$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} + x y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب في $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

خطوة 6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $5 y^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.1.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- x y$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.3.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{3}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.4

اجمع $\frac{1}{y^{2}}$ و $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.5.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $y^{3} \sin (y)$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

خطوة 6.7.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

خطوة 8.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

خطوة 8.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

خطوة 8.5

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

خطوة 8.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.7

بسّط.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.4

بما أن $\frac{1}{2} x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.6.2.2

أضف $- \frac{x}{y^{2}}$ و $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 11.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{5}{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

خطوة 12.1.1.2

أضف $\frac{x}{y^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

خطوة 12.1.1.3

اطرح $\sin (y)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

أضف $- \frac{x}{y^{2}}$ و $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

خطوة 12.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أضف $\frac{5}{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

خطوة 12.1.2.2

أضف $\sin (y)$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{5}{y} + \sin (y)$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

خطوة 13.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

خطوة 13.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

خطوة 13.5

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

خطوة 13.6

تكامل $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \cos (y)$ .

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

خطوة 13.7

بسّط.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

خطوة 15.2

بسّط $5 \ln (| y |)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$