حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - x y + 3 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y - x y + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} - x y + 3 y$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + 3 y$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + y \cdot 3$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $y$ من $y x^{2} + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x) + y \cdot 3$

خطوة 1.1.5

أخرِج العامل $y$ من $y (x^{2} - x) + y \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x + 3)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 3$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} - x + 3) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - x + 3 d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} - x + 3 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

خطوة 3.3.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$ بالصيغة $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$