حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y e^{x y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

خطوة 1.3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

خطوة 1.3.7

اضرب $e^{x y}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أضف $0$ و $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + x e^{x y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

خطوة 2.3.6

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

خطوة 2.3.7

اضرب $e^{x y}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $0$ و $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x y e^{x y} + e^{x y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $x y e^{x y} + e^{x y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

خطوة 5.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

خطوة 5.4

لنفترض أن $u = x y$ . إذن $d u = y d x$ ، لذا $\frac{1}{y} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

افترض أن $u = x y$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أوجِد مشتقة $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 5.4.1.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y \cdot 1$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$y$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

خطوة 5.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

خطوة 5.6

بما أن $\frac{1}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y$ .

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

خطوة 5.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

خطوة 5.7.3

اضرب $\int e^{u} d u$ في $1$ .

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

خطوة 5.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

خطوة 5.9

بسّط.

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

خطوة 5.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + e^{x y} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.3.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.3.4

اضرب $x$ في $1$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أضف $0$ و $e^{x y} x$ .

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 8.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x e^{x y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $x e^{x y}$ من $x e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

خطوة 10.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int y d y$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

خطوة 10.5.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$