حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - x y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- x + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x - y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x + 2 y = 2 x - y$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- x + 2 y = 2 x - y$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- x + 2 y$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x - y$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x^{2} - x y$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 x$ من $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.5

أضف $2 y$ و $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.6.2

أخرِج العامل $3$ من $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.2.6.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

خطوة 4.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

خطوة 4.3.3.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

خطوة 4.3.3.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

خطوة 4.3.3.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x + y$ و $x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (x - y)$ بالصيغة $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

خطوة 4.3.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

خطوة 4.3.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 5.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 5.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 3 \ln (| x |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

خطوة 5.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2} - x y$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y^{2} - x y$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $x^{2} - x y$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x^{2} - x y$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.6.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.6.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.6.2

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 6.7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $\frac{1}{x^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{x^{2}}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

خطوة 8.3

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

خطوة 8.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

خطوة 8.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

خطوة 8.6

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ و $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - \frac{y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.3

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.5

بما أن $- \frac{y^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{y^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.6

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.9

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.10

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.11

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.12

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.12.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.12.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.16

اطرح $4$ من $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.17

لكتابة $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.19

اضرب $x^{- 3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.19.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.19.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.3.19.3

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.4

اجمع $y$ و $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.7.2

اقسِم $2 y$ على $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.9

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.11

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.12

اضرب $\frac{y^{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.13

اضرب $\frac{y^{2}}{2}$ في $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.14

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.15

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.15.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.15.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.16

اطرح $2 y$ من $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.17

اضرب $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.18

اجمع.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.19

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.20

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.20.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.20.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.21

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.21.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.21.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.21.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.21.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.22

لكتابة $\frac{d g}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.3.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 11.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

خطوة 12.1.2

بسّط $y (y - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أعِد الكتابة.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

خطوة 12.1.2.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

خطوة 12.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

خطوة 12.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.4.1

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

خطوة 12.1.2.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

خطوة 12.1.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

خطوة 12.1.3.2

أضف $x y$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

خطوة 12.1.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.3.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

خطوة 12.1.3.3.2

أضف $- y x$ و $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

خطوة 12.1.3.3.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- y x$ و $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

خطوة 12.1.3.3.4

أضف $- x y$ و $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 12.1.4

اقسِم كل حد في $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ على $x^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

اقسِم كل حد في $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ على $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

خطوة 12.1.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

خطوة 12.1.4.2.1.2

اقسِم $\frac{d g}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

خطوة 12.1.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.3.1

اقسِم $0$ على $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$g (x) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (x) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

خطوة 15.2

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

خطوة 15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

خطوة 15.3.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

خطوة 15.3.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

خطوة 15.3.2

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

خطوة 15.3.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

خطوة 15.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

خطوة 15.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

خطوة 15.4

اجمع $y$ و $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

خطوة 15.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

خطوة 15.6

اجمع.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

خطوة 15.7

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$