حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} d x - y d y = 0$

خطوة 1

اطرح $e^{x} d x$ من كلا المتعادلين.

$- y d y = - e^{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int - y d y = \int - e^{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int y d y = \int - e^{x} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} = - e^{x} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y^{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2.1.1.3.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 2 (- e^{x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = - 2 (- e^{x}) - 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$y^{2} = 2 e^{x} - 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} - 2 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{x} - 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) - 2 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 (- K)}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (e^{x}) + 2 (- K)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$