حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{2} \cos (x)$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $- \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 1.2.5

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 2}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $\frac{2 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (x)))$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (x)$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (x)$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (x) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (x) d x$

خطوة 6

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \sin (x) + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \sin (x) + C$

خطوة 7.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\sin (x) + C) x^{2}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\sin (x) + C) x^{2}$

خطوة 7.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\sin (x) + C) x^{2}$

خطوة 7.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

بسّط $(\sin (x) + C) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \sin (x) x^{2} + C x^{2}$

خطوة 7.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} \sin (x) + C x^{2}$

خطوة 7.3.2.1.2.2

أعِد ترتيب $x^{2} \sin (x)$ و $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} \sin (x)$