حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y^{2} + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 y^{3} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3} - x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y^{3} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.2

بما أن $2 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

خطوة 2.4

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $4 x y + 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y + 1 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$4 x y + 1 = - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $4 x y + 1$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y^{2} + y$ .

$\frac{- 1 - (4 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 - (4 x y + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أعِد ترتيب $- 1$ و $- (4 x y + 1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1) - 1 (1)}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (4 x y + 1 + 1)}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- (4 x y + 2)}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $4 x y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x y$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2)}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{- (2 (2 x y) + 2 (1))}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (2 x y + 1))}{2 x y^{2} + y}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{2 x y^{2} + y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $2 x y^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y^{2}$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y}$

خطوة 4.3.3.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y^{1}}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot 1}$

خطوة 4.3.3.4

أخرِج العامل $y$ من $y (2 x y) + y \cdot 1$ .

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 (2 x y + 1)}{y (2 x y + 1)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.5

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $2 x y^{2} + y$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(2 x y^{2} + y) d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x y^{2} + y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $2 x y^{2} + y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $2 x y^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y) + y}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.3.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y (2 x y) + y^{1}}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{y (2 x y) + y \cdot 1}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.3.4

أخرِج العامل $y$ من $y (2 x y) + y \cdot 1$ .

$\frac{y (2 x y + 1)}{y^{2}} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (2 x y + 1)}{y \cdot y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $2 y^{3} - x$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + (2 y^{3} - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $2 y^{3} - x$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y + 1}{y} d x + \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x y + 1}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{2 x y + 1}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} + \frac{1}{y} d x$

خطوة 8.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \int \frac{2 x y}{y} d x + \int \frac{1}{y} d x$

خطوة 8.3.2

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int \frac{1}{y} d x$

خطوة 8.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int \frac{1}{y} d x$

خطوة 8.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d x$

خطوة 8.6

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

خطوة 8.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{y} x + C$

خطوة 8.7.2

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{x}{y} + C$

خطوة 8.8

بسّط.

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.2.2

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$0 - \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.5.2.2

اطرح $\frac{x}{y^{2}}$ من $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{2 y^{3} - x}{y^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y^{3} - x}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3} - x)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y^{3}) - - x}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} - - x}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + 1 x}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y^{3} + x}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x - 2 y^{3} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- 2 y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $y^{3}$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- 2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (- 2 y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{1} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2.4

اقسِم $- 2 y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 y = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $2 y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

خطوة 13.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$g (y) = 2 \int y d y$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

خطوة 13.5.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + \frac{x}{y} + y^{2} + C$