حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$ على $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d x}{d y}$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y^{1}} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y}{1} + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.3.2.5

اقسِم $3 y$ على $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $x$ من $\frac{- 2 x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 2}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب $x$ و $\frac{- 2}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2}{y} x = 3 y + \frac{- 2}{y}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (y) d y}$ ، حيث $P (y) = \frac{- 2}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 2}{y} d y}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 2}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| y |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (y)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (y^{- 2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$y^{- 2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{y^{2}}$ و $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (- \frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{2}{y}$ و $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{2 x}{y}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y \cdot y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1} y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2.5.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1 + 2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.2.5.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = 3 \frac{1}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

خطوة 3.3.4

اجمع.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y}$

خطوة 3.3.5

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y^{1}}$

خطوة 3.3.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2 + 1}}$

خطوة 3.3.5.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{3}}$

خطوة 3.3.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{- 2}{y^{3}}$

خطوة 3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] d y = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

خطوة 7.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

خطوة 7.3

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

خطوة 7.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{3}} d y$

خطوة 7.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

خطوة 7.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

خطوة 7.6.2

انقُل $y^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

خطوة 7.6.3

اضرب الأُسس في ${(y^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

خطوة 7.6.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 3} d y$

خطوة 7.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1.1

اجمع $y^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

خطوة 7.8.1.2

انقُل $y^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

خطوة 7.8.2

بسّط.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - \frac{- 1}{y^{2}} + C$

خطوة 7.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - - \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 7.8.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + 1 \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 7.8.3.3

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اطرح $3 \ln (| y |)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 8.1.2

اطرح $\frac{1}{y^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} = C$

خطوة 8.1.3

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

خطوة 8.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

اجمع $\frac{1}{y^{2}}$ و $x$ .

$\frac{x}{y^{2}} - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

خطوة 8.1.4.2

بسّط $- 3 \ln (| y |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{x}{y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

خطوة 8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $\ln ({| y |}^{3})$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3})$

خطوة 8.2.2

أضف $\frac{1}{y^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{x}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 8.2.3

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{x}{y^{2}} = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$

خطوة 8.4.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1 + C y^{2}$

خطوة 8.4.2.1.3.2

انقُل $1$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + C y^{2} + 1$

خطوة 8.4.2.1.3.3

أعِد ترتيب $y^{2} \ln ({| y |}^{3})$ و $C y^{2}$ .

$x = C y^{2} + y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1$