حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{x} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $x e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x e^{x} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{x} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.3.4

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $x e^{x} + e^{x}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $x e^{x} + e^{x}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $x e^{x} + e^{x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x e^{x} + 2$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $(x e^{x} + 2) y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{x} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3.7

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.3.8

أضف $x e^{x} + e^{x}$ و $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 8.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

خطوة 9.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $x y e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

خطوة 9.1.2.2

اطرح $y e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

خطوة 9.1.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.3.1

اطرح $x y e^{x}$ من $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

خطوة 9.1.2.3.2

أضف $1 + y e^{x}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

خطوة 9.1.2.3.3

اطرح $y e^{x}$ من $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

خطوة 9.1.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

خطوة 10.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$