حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + y = y^{- 2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{y^{2}}$

خطوة 1.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$

خطوة 1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اجمع.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 1.1.3.3.1.3

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

خطوة 1.1.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لكتابة $- \frac{y}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 1.2.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x y^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد ترتيب عوامل $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.4.2

أعِد كتابة $y \cdot y^{2}$ بالصيغة $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.4.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

خطوة 1.2.4.4.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2} x}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ .

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اجمع.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

خطوة 1.5.2

اجمع.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

خطوة 1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

خطوة 1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

خطوة 1.5.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

خطوة 1.5.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . إذن $d u = - 3 y^{2} d y$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = 1 - y$ و $g (y) = 1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

خطوة 2.2.1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

خطوة 2.2.1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

خطوة 2.2.1.1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.2.1.1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.2.1.1.3.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.2.1.1.3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.2.1.1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.2.1.1.3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.11.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

خطوة 2.2.1.1.3.11.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

خطوة 2.2.1.1.3.11.3

أعِد كتابة $- 1 (1 + y + y^{2})$ بالصيغة $- (1 + y + y^{2})$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

خطوة 2.2.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.5.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.5

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.6

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.8

أضف $1$ و $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.9

أضف $- y$ و $2 y$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.11

اطرح $1$ من $1$ .

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.12

أضف $y - 2 y^{2}$ و $0$ .

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.13

اطرح $y$ من $y$ .

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.14

أضف $- 2 y^{2}$ و $0$ .

$- 2 y^{2} - y^{2}$

خطوة 2.2.1.1.4.5.15

اطرح $y^{2}$ من $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

وسّع $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.2

اضرب $y$ في $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.5

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.5.1

انقُل $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.5.2

اضرب $y$ في $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.6

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.6.1

انقُل $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.6.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1.6.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.1.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.1

اطرح $y$ من $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.2

أضف $1 + y^{2}$ و $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.3

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.1.4

أضف $1$ و $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.2

اجمع $\ln (| 1 - y^{3} |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ إلى بسط الكسر.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.3.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.2.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2.4.2

اضرب $\ln (| 1 - y^{3} |)$ في $1$ .

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط $3 \ln (| x |)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

خطوة 3.7.2

اقسِم كل حد في $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ على ${| x |}^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اقسِم كل حد في $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ على ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${| x |}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 3.7.2.2.1.2

اقسِم $| 1 - y^{3} |$ على $1$ .

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 3.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

خطوة 3.7.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

خطوة 3.7.5

اقسِم كل حد في $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

اقسِم كل حد في $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.7.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.7.5.2.2

اقسِم $y^{3}$ على $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.7.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.7.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ بالصيغة $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.7.5.3.1.3

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

خطوة 3.7.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$