حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 2 x y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2 x + 2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2 x + 2 y$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.4

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5

أخرِج العامل $2$ من $4 x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 x y$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $2 x - y$ و $y - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

خطوة 4.3.4.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

خطوة 4.3.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (- 2 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

خطوة 4.3.4.4

أعِد كتابة $- (- 2 x + y)$ بالصيغة $- 1 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

خطوة 4.3.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

خطوة 4.3.4.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

خطوة 4.3.4.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

خطوة 4.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.6

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y^{2} - 2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y^{2} - 2 x y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $y^{2} - 2 x y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 8.2

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

خطوة 8.3

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

خطوة 8.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

خطوة 8.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد كتابة $x^{2} (- y^{- 1} + C)$ بالصيغة $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

خطوة 8.5.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $- \frac{1}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{x^{2}}{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.3.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.3.5

اجمع $\frac{- 2}{y}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{y - 2 x}{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 2 x - y + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.4.1

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.4.2

أضف $- y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 1$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

خطوة 13.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (x) = x + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$