حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2} - x^{2}}{2 x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة $\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم $\frac{3 y^{2} - x^{2}}{2 x y}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{3 y^{2} - x^{2}}{2 x y}$ إلى كسرين.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $3 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

خطوة 1.1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

خطوة 1.1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

خطوة 1.1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

خطوة 1.2

أخرِج عامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{3 y}{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $\frac{y}{x}$ من $\frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{3}{2} - \frac{x}{2 y}$

خطوة 1.2.2

أعِد ترتيب $\frac{y}{x}$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $f (\frac{y}{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج عامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{x}{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $\frac{x}{y}$ من $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 1.3.1.2

أعِد ترتيب $\frac{x}{y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{x}{y}$ بالصيغة ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

خطوة 2

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

خطوة 6.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

خطوة 6.1.1.1.3

اضرب $\frac{1}{V}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

خطوة 6.1.1.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} - \frac{1}{2 V}$

خطوة 6.1.1.2

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

خطوة 6.1.1.3

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.2

لكتابة $- V$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.1

اجمع $- V$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $V$ من $3 V - V \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $V$ من $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 - V \cdot 2}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

أخرِج العامل $V$ من $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

أخرِج العامل $V$ من $V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 2)}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.1.3

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.3.3.2

اضرب $V$ في $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.1

لكتابة $\frac{V}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.2

اضرب $\frac{V}{2}$ في $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 + V \cdot V}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.3.4.4.1

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 + V^{1} V}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4.2

ارفع $V$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 + V^{1} V^{1}}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 + V^{1 + 1}}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 + V^{2}}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1^{2} + V^{2}}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4.6

أعِد ترتيب $- 1^{2}$ و $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2} - 1^{2}}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.4.4.7

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = V$ و $b = 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V}}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.1.3.3.6

اضرب $\frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V x}$

خطوة 6.1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)}$ .

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} (\frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 6.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

اضرب $\frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V x}$

خطوة 6.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.2.1

أخرِج العامل $2 V$ من $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V (x)}$

خطوة 6.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{2 V x}$

خطوة 6.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

خطوة 6.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $(V + 1) (V - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

خطوة 6.1.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2 V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

لنفترض أن $u = (V + 1) (V - 1)$ . إذن $d u = 2 V d V$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = V d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

افترض أن $u = (V + 1) (V - 1)$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $(V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{d}{d V} [(V + 1) (V - 1)]$

خطوة 6.2.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ هو $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ حيث $f (V) = V + 1$ و $g (V) = V - 1$ .

$(V + 1) \frac{d}{d V} [V - 1] + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $V - 1$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ .

$(V + 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(V + 1) (1 + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$(V + 1) (1 + 0) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(V + 1) \cdot 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.3.4.2

اضرب $V + 1$ في $1$ .

$V + 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

خطوة 6.2.2.2.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $V + 1$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$V + 1 + (V - 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1])$

خطوة 6.2.2.2.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + \frac{d}{d V} [1])$

خطوة 6.2.2.2.1.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + 0)$

خطوة 6.2.2.2.1.3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$V + 1 + (V - 1) \cdot 1$

خطوة 6.2.2.2.1.3.8.2

اضرب $V - 1$ في $1$ .

$V + 1 + V - 1$

خطوة 6.2.2.2.1.3.8.3

أضف $V$ و $V$ .

$2 V + 1 - 1$

خطوة 6.2.2.2.1.3.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.3.8.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$2 V + 0$

خطوة 6.2.2.2.1.3.8.4.2

أضف $2 V$ و $0$ .

$2 V$

خطوة 6.2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(V + 1) (V - 1)$ .

$\ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| (V + 1) (V - 1) |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| (V + 1) (V - 1) |) - \ln (| x |) = C$

خطوة 6.3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |}) = C$

خطوة 6.3.3

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |})} = e^{C}$

خطوة 6.3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |}$

خطوة 6.3.5

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |} = e^{C}$

خطوة 6.3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| x |$ .

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1

بسّط $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |} | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| (V + 1) (V - 1) | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.2

وسّع $(V + 1) (V - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$| V (V - 1) + 1 (V - 1) | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.3.1.3.1.1

اضرب $V$ في $V$ .

$| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $V$ .

$| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 V$ بالصيغة $- V$ .

$| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.3.1.4

اضرب $V$ في $1$ .

$| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$| V^{2} - V + V - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.3.2

أضف $- V$ و $V$ .

$| V^{2} + 0 - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.3.1.3.3

أضف $V^{2}$ و $0$ .

$| V^{2} - 1 | = e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.4

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | x |$ .

$| V^{2} - 1 | = | x | e^{C}$

خطوة 6.3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$V^{2} - 1 = \pm | x | e^{C}$

خطوة 6.3.5.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | x | e^{C}$ .

$V^{2} - 1 = \pm e^{C} | x |$

خطوة 6.3.5.4.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$V^{2} = \pm e^{C} | x | + 1$

خطوة 6.3.5.4.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$V = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | + 1}$

خطوة 6.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = \pm \sqrt{\pm C | x | + 1}$

خطوة 6.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = \pm \sqrt{C | x | + 1}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | + 1}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | + 1}) x$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | + 1}) x$

خطوة 8.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\pm \sqrt{C | x | + 1}) x$